直线和圆的位置关系概念、知识点及练习题

概要：：(x-x1)²+(y-y1)²=r1²，C2：(x-x2)²+(y-y2)²=r2²：则两圆外离r1+r2 两圆外切r1+r2=d;两圆相交|r1-r2| <d<r1+r2; 两圆内切|r1-r2|=d;两圆内含|r1-r2|>d.六、代数将两个圆方程联立，消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次方程.若方程中△>0，则两圆相交;若方程中△=0，则两圆相切;若方程中△<0，两圆外离或内含.(此方法仅用于判断两个圆的位置关系，不适用于其他的二次曲线的位置关系的判断问题)七、圆系方程经过两圆x²+y²+D1x+E1y+F1=0与x²+y²+D2x+E2y+F2=0的交点圆系方程为：x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)例题：求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程。分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变

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　　【概念及知识点】

　　一、位置关系

　　⑴直线与圆相交(d <r)，有两个公共点。

　　⑵直线与圆相切(d=r)，只有一个公共点。

　　⑶直线与圆相离(d>r)，没有公共点。

　　

　　二、代数法

　　如果直线方程y=kx+m，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,将直线方程代入圆的方程，消去y，得关于x的一元二次方程Px²+Qx+R=0(P≠0),那么：

　　a.当△<0时，直线与圆没有公共点;

　　b.当△=0时，直线与圆相切;

　　c.当△>0时，直线与圆相交。

　　三、几何法

　　求出圆心到直线的距离d，半径为r

　　d>r，则直线与圆相离

　　d=r，则直线与圆相切

　　d <r，则直线与圆相交

　　四、判断步骤

　　①计算两圆的半径，r1，r2;

　　②计算两圆的圆心距d;

　　③根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关系.

　　五、判断公式

　　若两圆的方程分别为C1：(x-x1)²+(y-y1)²=r1²，C2：(x-x2)²+(y-y2)²=r2²：

　　则两圆外离r1+r2

　　两圆外切r1+r2=d;

　　两圆相交|r1-r2| <d<r1+r2;

　　两圆内切|r1-r2|=d;

　　两圆内含|r1-r2|>d.

　　六、代数

　　将两个圆方程联立，消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次方程.

　　若方程中△>0，则两圆相交;

　　若方程中△=0，则两圆相切;

　　若方程中△<0，两圆外离或内含.(此方法仅用于判断两个圆的位置关系，不适用于其他的二次曲线的位置关系的判断问题)

　　七、圆系方程

　　经过两圆x²+y²+D1x+E1y+F1=0与x²+y²+D2x+E2y+F2=0的交点圆系方程为：

　　x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)

　　例题：求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程。

　　分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。

　　解：圆x²+y²=25和(x-1)²+(y-1)²=16的公共弦方程为

　　x²+y²-25-[(x-1)²+(y-1)²-16]=0，即2x+2y-11=0

　　过直线2x+2y-11=0与圆x²+y²=25的交点的圆系方程为

　　x²+y²-25+λ(2x+2y-11)=0，即x²+y²+2λy+2λx-(11λ+25)=0

　　依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上。即-2λ-2λ+11=0，则λ=-11/4

　　代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)²+(y-11/4)²=79/8

【练习题】

　　1、设m>0，则直线 (x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m(m>0)的位置关系为

　　A.相切　　　B.相交　　　C.相切或相离　　　D.相交或相切

　　2、若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1，则半径r的范围是( )

　　A.(4，6) 　　　B.[4，6) 　　　C.(4，6] 　　　D.[4，6]

　　3、已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形

　　A.是锐角三角形 　　　B.是直角三角形　　　C.是钝角三角形 　　　D.不存在

　　4、自点A(-3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.

　　5、已知M(x0，y0)是圆x2+y2=r2(r>0)内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系?

【答案】

1、C

2、A

3、B

4、解：圆(x-2)2+(y-2)2=1关于x轴的对称方程是(x-2)2+(y+2)2=1.

　　设l方程为y-3=k(x+3)，由于对称圆心(2，-2)到l距离为圆的半径1，从而可得k1=- ，k2=- .故所求l的方程是3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.

5、解：圆心O(0，0)到直线x0x+y0y=r2的距离为d= .

　　∵P(x0，y0)在圆内，∴

　　则有d>r，故直线和圆相离.